Special Quadrilaterals — Rectangle, Rhombus, Square, Trapezoid
A family tree of quadrilaterals — each one inherits more from its ancestors.
2.1과 2.2에서 만난 평행사변형은 사각형의 큰 가족 중 한 갈래입니다. 이 가족 안에 더 특별한 형제들이 있습니다.
네 각이 모두 직각이면 직사각형(rectangle), 네 변의 길이가 모두 같으면 마름모(rhombus), 둘 다이면 정사각형(square). 한 쌍의 대변만 평행하면 사다리꼴(trapezoid), 그 중 평행하지 않은 두 변의 길이가 같으면 등변사다리꼴(isosceles trapezoid).
각 사각형은 더 일반적인 사각형의 성질을 상속받습니다 — 직사각형은 평행사변형의 성질을 모두 가지고 + 자기만의 특별한 성질(두 대각선의 길이가 같음)을 가집니다. 우리는 이 가족 관계도를 한눈에 정리합니다.
Five named quadrilaterals — each with a unique feature.
$\triangle ABC$와 $\triangle BAD$에서
⟹ SAS 합동으로 $\triangle ABC \equiv \triangle BAD$. 대응변에 의해 $\overline{AC} = \overline{BD}$. Q.E.D.
두 대각선의 교점을 $O$라 하자. $\triangle OAB$와 $\triangle OCB$에서
⟹ SSS 합동으로 $\triangle OAB \equiv \triangle OCB$. 대응각 $\angle AOB = \angle COB$. 이 두 각은 일직선각의 합이므로 각각 $90°$. 따라서 $\overline{AC} \perp \overline{BD}$. Q.E.D.
A bird's-eye view of which properties each special quadrilateral has.
💡 핵심 패턴: 정사각형은 모든 성질을 가짐. 마름모는 변·대각선 수직 / 직사각형은 각·대각선 길이 / 정사각형 = 둘 다 / 등변사다리꼴은 평행사변형이 아니지만 대각선 길이는 같음.
Five checks on the family of quadrilaterals.
Working with special quadrilateral properties.
직사각형 → $\overline{BD} = \overline{AC} = 12$.
대각선 이등분 → $\overline{OA} = \overline{OC} = \dfrac{12}{2} = 6$, $\overline{OB} = \overline{OD} = \dfrac{12}{2} = 6$.
두 대각선이 서로 이등분 → 교점 $O$에서 $\overline{OA} = \overline{OC} = \dfrac{8}{2} = 4$, $\overline{OB} = \overline{OD} = \dfrac{6}{2} = 3$.
두 대각선이 수직 → $\triangle OAB$는 $\angle O = 90°$인 직각삼각형. $\overline{OA} = 4$, $\overline{OB} = 3$.
피타고라스: $\overline{AB}^2 = 3^2 + 4^2 = 25$ ⟹ $\overline{AB} = 5$.
★ basic · ★★ standard · ★★★ challenge.
사각형의 가족은 위계를 이룬다 — 사각형 ⊃ 사다리꼴 ⊃ 평행사변형 ⊃ {직사각형, 마름모} ⊃ 정사각형. 각 사각형은 더 일반적인 사각형의 성질을 모두 상속받고 + 자기만의 특별한 성질을 갖는다.